LaTeX & MathJax példa

Einstein · 1905

Az energia

Einstein speciális relativitáselméletének egyik legismertebb következménye, hogy a tömeg és az energia ekvivalens egymással. Az összefüggést az alábbi képlet fejezi ki:

$$E = mc^2$$

ahol \(E\) az energia, \(m\) a tömeg, \(c\) pedig a fénysebesség \(\approx 3 \times 10^8 \, \mathrm{m/s}\). Teljesebb, mozgó testre vonatkozó alak: \(E^2 = (pc)^2 + (m_0 c^2)^2\).

Klasszikus mechanika

Mozgási energia

Egy \(m\) tömegű, \(v\) sebességgel mozgó test mozgási energiája:

E_k = \frac{1}{2}mv^2

Ez az összefüggés Newton mechanikájának egyik alaptétele, és érvényes \(v \ll c\) esetén.

Gravitáció

Helyzeti energia

Egy \(h\) magasságban lévő test gravitációs helyzeti energiája:

$$E_p = mgh$$

ahol \(g \approx 9{,}81 \, \mathrm{m/s^2}\) a nehézségi gyorsulás. Az energiamegmaradás törvénye szerint:

E_k + E_p = \text{állandó}

Kvantumfizika · Planck

Foton energiája

A kvantumfizikában egy foton energiáját a frekvenciája határozza meg:

E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}

ahol \(h \approx 6{,}626 \times 10^{-34} \, \mathrm{J \cdot s}\) a Planck-állandó, \(\nu\) a frekvencia, \(\lambda\) a hullámhossz.

Analízis · Newton & Leibniz · ~1670

Newton–Leibniz-tétel

Az integrálszámítás alaptétele összeköti a határozott integrált és a primitív függvényt. Ha \(F\) az \(f\) folytonos függvény egy primitív függvénye \([a, b]\)-n, akkor:

\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)

A jobb oldalt gyakran rövidítve írják: \(\Big[F(x)\Big]_a^b\). A tétel kimondja, hogy a differenciálás és az integrálás egymás inverz műveletei:

\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\, dt = f(x)

Ez az összefüggés az analízis egyik legmélyebb eredménye, amelyet Isaac Newton és Gottfried Wilhelm Leibniz egymástól függetlenül fedezett fel a 17. században.