Rúd alakú Föld: a gravitációs gyorsulás tere

Egyszerűsített, tanulási célú modell: a gravitációs gyorsulást csak egy irányban, a rúd tengelye mentén (x irány) számoljuk, logaritmikus csúszkákkal.

A rúd leírása

\(l_{\mathrm{rúd}}\) – a rúd hossza, mértékegysége: \(\mathrm{m}\)
\(r_{\mathrm{rúd}}\) – a rúd sugara, mértékegysége: \(\mathrm{m}\)
\(x\) – az x tengely a rúd hossztengelye. Az origó a hossztengely felezőpontjában van. Mértékegysége: \(\mathrm{m}\)
\(h_x\) – a mérési pont helye az x tengelyen, a rúd alaplapjától (a pozitív oldali végétől) mérve. Pozitív érték: a rúdon kívül, negatív érték: a rúd belsejében. Mértékegysége: \(\mathrm{m}\)
\(a_x\) – a gravitációs gyorsulás a mérési pontban, mértékegysége: \(\mathrm{\frac{m}{s^2}}\)
\(\rho_{\mathrm{Föld}}\) – a Föld sűrűsége, \(\rho_{\mathrm{Föld}} = 5{,}51\cdot10^{3}\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}\) (a szimulációban állandó)
\(G\) – gravitációs állandó, \(G \approx 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\mathrm{\frac{N\,m^2}{kg^2}}\)

Képletek

Newton gravitációs törvénye – az \(m\) tömegű test és az \(m_{\mathrm{dummy}}\) tömegű kis próbatest közötti erő:

\[ F_{\mathrm{Newton\ Gravity\ Acceleration}}(m,m_{\mathrm{dummy}},r) = G\,\frac{m\cdot m_{\mathrm{dummy}}}{r^2} \]

II. Newton-törvény – a dinamika alaptörvénye:

\[ F = m\cdot a \]

A próbatestre alkalmazva (\(F = m_{\mathrm{dummy}}\cdot a\)) a gravitációs gyorsulás a próbatest tömegétől független:

\[ a_{\mathrm{Newton\ Gravity\ Acceleration}} = G\,\frac{m}{r^2} \]

A rúd gravitációs gyorsulásának tere az x tengelyen. A rudat \(\mathrm{d}x\) vastagságú korongokra bontjuk. Egy korong tömege \(\rho_{\mathrm{Föld}}\cdot\pi\cdot r_{\mathrm{rúd}}^2\,\mathrm{d}x\), és a mérési ponttól \(\left(\frac{l_{\mathrm{rúd}}}{2}+h_x\right)-x\) távolságra van. Az összes korong hatását összegezzük (integráljuk):

\[ a_x = \int_{-\frac{l_{\mathrm{rúd}}}{2}}^{\frac{l_{\mathrm{rúd}}}{2}} G \cdot \frac{\rho_{\mathrm{Föld}} \cdot \pi \cdot r_{\mathrm{rúd}}^2} {\left(\left(\frac{l_{\mathrm{rúd}}}{2}+h_x\right)-x\right)^2} \,\mathrm{d}x \]

Az integrál megoldása a rúdon kívüli pontra (\(h_x\gt 0\)):

\[ \begin{aligned} a_x &= G\,\rho_{\mathrm{Föld}}\,\pi\,r_{\mathrm{rúd}}^2\left[\frac{1}{\left(\frac{l_{\mathrm{rúd}}}{2}+h_x\right)-x}\right]_{-\frac{l_{\mathrm{rúd}}}{2}}^{\frac{l_{\mathrm{rúd}}}{2}}\\ &= G\,\rho_{\mathrm{Föld}}\,\pi\,r_{\mathrm{rúd}}^2\left(\frac{1}{h_x}-\frac{1}{h_x+l_{\mathrm{rúd}}}\right) = G\,\rho_{\mathrm{Föld}}\,\pi\,r_{\mathrm{rúd}}^2\,\frac{l_{\mathrm{rúd}}}{h_x\,(h_x+l_{\mathrm{rúd}})} \end{aligned} \]

Irány: a rúdon kívül a gravitációs gyorsulás a rúd közepe felé mutat. Az \(a_x\) értéke ennek a nagysága.
A rúd belsejében (\(h_x\lt 0\)) az integrandus a mérési pont helyén végtelen, az integrál nem létezik. Ott a két oldal korongjai ellentétes irányba húznak, és a végtelenek kiesnek, ezért a két oldal hatásának különbségét számoljuk (az integrál főértékét). A szimuláció az összes esetre ezt a képletet használja:
\[ a_x = G\,\rho_{\mathrm{Föld}}\,\pi\,r_{\mathrm{rúd}}^2\left|\frac{1}{|h_x|}-\frac{1}{|h_x+l_{\mathrm{rúd}}|}\right| \]
A rúd közepén (\(x=0\)) a gravitációs gyorsulás nulla, onnan kifelé a rúd közepe felé mutat.
A rúd végein (\(h_x=0\) és \(h_x=-l_{\mathrm{rúd}}\)) a gravitációs gyorsulás végtelen, a modell itt nem értelmezett.

Mit jelent az integrál főértéke? (Cauchy-főérték) Ha a mérési pont a rúd belsejében van (\(x=p\) helyen, ahol \(p=\frac{l_{\mathrm{rúd}}}{2}+h_x\)), az integrandus ott végtelen, ezért a sima integrál nem létezik. A főérték azt jelenti, hogy a mérési pont körül kihagyunk egy kis, \(\varepsilon\) szélességű sávot, a két oldal hatását külön kiszámoljuk, és csak utána engedjük az \(\varepsilon\)-t nullához. Egy \(-l_{\mathrm{rúd}}\lt h_x\lt 0\) pontra (a rúd jobb felében):

\[ \begin{aligned} \text{bal oldal (a pontot a } -x \text{ irányba húzza):} &\quad \frac{1}{\varepsilon}-\frac{1}{l_{\mathrm{rúd}}+h_x}\\ \text{jobb oldal (a pontot a } +x \text{ irányba húzza):} &\quad \frac{1}{\varepsilon}-\frac{1}{|h_x|}\\ \text{eredő (a különbségük):} &\quad \frac{1}{|h_x|}-\frac{1}{l_{\mathrm{rúd}}+h_x} \end{aligned} \]

Mindkét oldal tartalmaz egy \(\frac{1}{\varepsilon}\) tagot, ami \(\varepsilon\to0\) esetén végtelenné válna. A két húzás ellentétes irányú és ugyanakkora, ezért a különbségben ezek a tagok kiesnek, és véges szám marad. Ezért mondjuk, hogy a végtelenek kiesnek.
Fizikai értelme: a mérési pont körül a közeli korongok mindkét oldalon (nagyjából) ugyanannyit húznak, és ez a húzás kiegyenlíti magát. Csak a távolabbi, kiegyenlítetlen rész számít. A rúd közepén a két oldal teljesen szimmetrikus, ezért ott az eredmény nulla.
A rúd bal felében az eredő előjele fordított (a gravitációs gyorsulás a +x irányba mutat). A szimuláció képletében az abszolút érték ezért a rúd közepe felé mutató gravitációs gyorsulás nagyságát adja.
A főérték egy módszer: a szimmetria miatt „elintézi" a végtelent. A pontszerű korongmodell ebben a tartományban amúgy sem pontos, a valódi, tömör hengerben a gravitációs gyorsulás mindenhol véges.

Miért nem elég az eredeti képlet a rúd belsejében? A negatív \(h_x\) a képletben formailag megadja a mérési pont helyét (\(x=p\)), de az integrál a rúd belsejében két okból nem használható változtatás nélkül:

Szingularitás: az integrandus \(x=p\)-ben végtelen (lásd fent).
Irány: az integrandus négyzet, ezért mindig pozitív. A mérési ponttól balra lévő korongok viszont a \(-x\), a jobbra lévők a \(+x\) irányba húznak. A sima integrál ezért a két oldal hatását összeadná, pedig ki kellene vonni őket egymásból.

Példa: a rúdon kívüli zárt alakba (\(\frac{1}{h_x}-\frac{1}{h_x+l_{\mathrm{rúd}}}\)) a rúd közepén, \(h_x=-\frac{l_{\mathrm{rúd}}}{2}\) értéket helyettesítve:

\[ \frac{1}{h_x}-\frac{1}{h_x+l_{\mathrm{rúd}}} = -\frac{2}{l_{\mathrm{rúd}}}-\frac{2}{l_{\mathrm{rúd}}} = -\frac{4}{l_{\mathrm{rúd}}} \neq 0 \]

A szimmetria miatt viszont a rúd közepén a két oldal kiegyenlíti egymást, ezért a gravitációs gyorsulásnak nullának kell lennie. A zárt alak itt a két oldal hatását összeadja, ahelyett hogy kivonná. A főérték az irányt is figyelembe veszi: a bal oldali korongok pozitívan, a jobb oldaliak negatívan számítanak (a pozitív irány a \(-x\) irány):

\[ a_x = G\,\rho_{\mathrm{Föld}}\,\pi\,r_{\mathrm{rúd}}^2\lim_{\varepsilon\to0}\left[\int_{-\frac{l_{\mathrm{rúd}}}{2}}^{p-\varepsilon}\frac{\mathrm{d}x}{(p-x)^2}-\int_{p+\varepsilon}^{\frac{l_{\mathrm{rúd}}}{2}}\frac{\mathrm{d}x}{(x-p)^2}\right] = G\,\rho_{\mathrm{Föld}}\,\pi\,r_{\mathrm{rúd}}^2\left(\frac{1}{|h_x|}-\frac{1}{l_{\mathrm{rúd}}+h_x}\right) \]

A rúd közepén ez \(\frac{2}{l_{\mathrm{rúd}}}-\frac{2}{l_{\mathrm{rúd}}}=0\), ahogy a szimmetria megköveteli.

A modell korlátai: a modell nagyon leegyszerűsített, tanulási célra készült. Minden korongot az x tengelyen lévő pontszerű tömegnek tekintünk, a korong sugárirányú kiterjedését csak a tömeg számításánál vesszük figyelembe, a távolságnál nem. Ez jó közelítés, ha a mérési pont a rúd végétől távol van (\(|h_x|\gg r_{\mathrm{rúd}}\)). A rúd végéhez közel (\(|h_x|\lesssim r_{\mathrm{rúd}}\)) a gravitációs gyorsulást nagyon eltúlozza, mert \(1/h_x\) szerint nő. Ezért az alapérték (\(h_x = 1\,\mathrm{m}\), a rúd sugarához képest nagyon közel a rúd végéhez) eredménye is nagyon nagy. Ez a modell korlátja, nem számolási hiba. Egy valódi, tömör henger tengelyén a gravitációs gyorsulás a véglapon is véges (lásd az „Összehasonlítás a valódi, tömör hengerrel" kártyát).

Összehasonlítás a valódi, tömör hengerrel

Az Eredménynél két érték jelenik meg:

pontszerű korongmodell (\(a_x^{\mathrm{pontszerű}}\)): a fenti integrál, amelyben minden korongot a tengelyen lévő pontszerű tömegnek tekintünk;
valódi, tömör henger (\(a_x^{\mathrm{henger}}\)): minden korong valódi, \(r_{\mathrm{rúd}}\) sugarú, egyenletes sűrűségű korong, és a korong sugárirányú kiterjedését a távolságnál is figyelembe vesszük.

A számítás logikája. A rudat három szinten összegezzük (integráljuk): először egy korong gyűrűit, utána a rúd korongjait. A mérési pont (P) mindig a rúd tengelyén van.

A. ábra. Egy korong oldalnézetben. A gyűrű egy elemének távolsága P-től az \(u\) és \(z\) befogójú derékszögű háromszög átfogója, \(\sqrt{z^2+u^2}\). A hatása az átfogó mentén mutat, ennek tengely irányú összetevője \(\cos\alpha=\frac{z}{\sqrt{z^2+u^2}}\) szorosa. A szemközti gyűrűelem függőleges összetevője ellentétes, ezért az kioltódik.

1. szint: egy gyűrű. Jelölések:

\(z\) – a korong és a mérési pont távolsága a tengelyen, mértékegysége: \(\mathrm{m}\)
\(u\) – a gyűrű sugara (\(0\) és \(r_{\mathrm{rúd}}\) között), \(\mathrm{d}u\) – a gyűrű szélessége, mértékegységük: \(\mathrm{m}\)
\(\sigma=\rho_{\mathrm{Föld}}\,\mathrm{d}x\) – a korong felületi sűrűsége, mértékegysége: \(\mathrm{\frac{kg}{m^2}}\)
\(\sqrt{z^2+u^2}\) – a gyűrű egy elemének távolsága P-től. Ez az \(u\) és \(z\) befogójú derékszögű háromszög átfogója (Pitagorasz-tétel), lásd az A. ábrát.
\(\alpha\) – az átfogó és a tengely szöge, \(\cos\alpha=\frac{z}{\sqrt{z^2+u^2}}\)
\(\mathrm{d}a_{\mathrm{gyűrű}}\) – a gyűrű által P-ben okozott, a tengely irányú gravitációs gyorsulás, mértékegysége: \(\mathrm{\frac{m}{s^2}}\)
\(\mathrm{d}a_{\mathrm{korong}}\) – a teljes korong által P-ben okozott gravitációs gyorsulás, mértékegysége: \(\mathrm{\frac{m}{s^2}}\)

A gyűrű tömege \(\sigma\cdot2\pi u\,\mathrm{d}u\), minden eleme \(\sqrt{z^2+u^2}\) távolságra van P-től, így a hatásának nagysága \(G\,\frac{\text{tömeg}}{\text{távolság}^2}\). Csak a tengely irányú összetevő számít (\(\cos\alpha\) szorosa), a többi kiesik a szimmetria miatt:

\[ \mathrm{d}a_{\mathrm{gyűrű}} = G\,\frac{\sigma\cdot2\pi u\,\mathrm{d}u}{z^2+u^2}\cdot\frac{z}{\sqrt{z^2+u^2}} \]

2. szint: a korong. A gyűrűket \(u=0\)-tól \(u=r_{\mathrm{rúd}}\)-ig összegezzük. A primitív függvény: \(\int\frac{u}{(z^2+u^2)^{3/2}}\,\mathrm{d}u=-\frac{1}{\sqrt{z^2+u^2}}\).

\[ \begin{aligned} \mathrm{d}a_{\mathrm{korong}} &= \int_{0}^{r_{\mathrm{rúd}}} 2\pi G\,\sigma\,\frac{z\,u}{(z^2+u^2)^{3/2}}\,\mathrm{d}u = 2\pi G\,\sigma\,z\left[-\frac{1}{\sqrt{z^2+u^2}}\right]_{u=0}^{u=r_{\mathrm{rúd}}}\\ &= 2\pi G\,\sigma\,z\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{\sqrt{z^2+r_{\mathrm{rúd}}^2}}\right) = 2\pi G\,\rho_{\mathrm{Föld}}\,\mathrm{d}x\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+r_{\mathrm{rúd}}^2}}\right) \end{aligned} \]

B. ábra. A rúd korongokra bontva. A kiemelt korong távolsága P-től \(z\). A rúd jobb végén \(z=h_x\), a bal végén \(z=h_x+l_{\mathrm{rúd}}\), ezért az \(x\) szerinti integrál \(z\) szerinti integrállá alakul, \(h_x\)-től \(h_x+l_{\mathrm{rúd}}\)-ig.

3. szint: a rúd gravitációs gyorsulásának tere az x tengelyen. A korongok \(\mathrm{d}a_{\mathrm{korong}}\) értékeit összegezzük \(x=-\frac{l_{\mathrm{rúd}}}{2}\)-től \(x=\frac{l_{\mathrm{rúd}}}{2}\)-ig, ahol a kiemelt korong távolsága P-től \(z(x)=\left(\frac{l_{\mathrm{rúd}}}{2}+h_x\right)-x\) (B. ábra):

\[ a_x = \int_{-\frac{l_{\mathrm{rúd}}}{2}}^{\frac{l_{\mathrm{rúd}}}{2}}\mathrm{d}a_{\mathrm{korong}} = \int_{-\frac{l_{\mathrm{rúd}}}{2}}^{\frac{l_{\mathrm{rúd}}}{2}} 2\pi G\,\rho_{\mathrm{Föld}}\left(1-\frac{z(x)}{\sqrt{z(x)^2+r_{\mathrm{rúd}}^2}}\right)\mathrm{d}x \]

Áttérünk \(z\)-re (\(\mathrm{d}x=-\mathrm{d}z\)). Az \(x=-\frac{l_{\mathrm{rúd}}}{2}\) a \(z=h_x+l_{\mathrm{rúd}}\)-nek, az \(x=\frac{l_{\mathrm{rúd}}}{2}\) a \(z=h_x\)-nek felel meg, a határok felcserélése a mínuszjelet eltünteti. A primitív függvény: \(\int\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+r_{\mathrm{rúd}}^2}}\right)\mathrm{d}z=z-\sqrt{z^2+r_{\mathrm{rúd}}^2}\). A rúdon kívüli pontra (\(h_x\ge0\)):

\[ \begin{aligned} a_x &= \int_{h_x}^{h_x+l_{\mathrm{rúd}}} 2\pi G\,\rho_{\mathrm{Föld}}\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+r_{\mathrm{rúd}}^2}}\right)\mathrm{d}z = 2\pi G\,\rho_{\mathrm{Föld}}\left[\,z-\sqrt{z^2+r_{\mathrm{rúd}}^2}\,\right]_{h_x}^{h_x+l_{\mathrm{rúd}}}\\ &= 2\pi G\,\rho_{\mathrm{Föld}}\left[\,l_{\mathrm{rúd}}-\sqrt{(h_x+l_{\mathrm{rúd}})^2+r_{\mathrm{rúd}}^2}+\sqrt{h_x^2+r_{\mathrm{rúd}}^2}\,\right] \end{aligned} \]

Nincs szingularitás: a gyökök alatt az \(r_{\mathrm{rúd}}^2\) miatt \(h_x=0\)-nál sem lesz nulla, így a gravitációs gyorsulás a véglapon is véges: \(a_x = 2\pi G\,\rho_{\mathrm{Föld}}\left[\,l_{\mathrm{rúd}}+r_{\mathrm{rúd}}-\sqrt{l_{\mathrm{rúd}}^2+r_{\mathrm{rúd}}^2}\,\right]\).
Távol a rúdtól (\(z\gg r_{\mathrm{rúd}}\)) a zárójel \(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+r_{\mathrm{rúd}}^2}}\approx\frac{r_{\mathrm{rúd}}^2}{2z^2}\), így \(\mathrm{d}a\approx G\rho_{\mathrm{Föld}}\,\pi\,r_{\mathrm{rúd}}^2\,\frac{\mathrm{d}x}{z^2}\). Ez pontosan a pontszerű korong gravitációs gyorsulása. A két modell tehát távol ugyanazt adja.
A rúd belsejében a mérési ponttól balra és jobbra lévő rész ellentétes irányba húz. Legyen \(d_L=l_{\mathrm{rúd}}+h_x\) a bal vég és \(d_R=|h_x|\) a jobb vég távolsága a mérési ponttól. A bal rész \(z=0\)-tól \(z=d_L\)-ig, a jobb rész \(z=0\)-tól \(z=d_R\)-ig tart:
\[ a_x = 2\pi G\,\rho_{\mathrm{Föld}}\left|\int_{0}^{d_L}\!\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+r_{\mathrm{rúd}}^2}}\right)\mathrm{d}z-\int_{0}^{d_R}\!\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+r_{\mathrm{rúd}}^2}}\right)\mathrm{d}z\right| = 2\pi G\,\rho_{\mathrm{Föld}}\,\bigl|\,P(d_L)-P(d_R)\,\bigr| \]
ahol \(P(d)=\int_0^d\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+r_{\mathrm{rúd}}^2}}\right)\mathrm{d}z=d+r_{\mathrm{rúd}}-\sqrt{d^2+r_{\mathrm{rúd}}^2}\). Itt az integrandus sehol sem végtelen, ezért főértékre sincs szükség. A rúd közepén (\(d_L=d_R\)) az eredmény nulla.

Számszerű összehasonlítás az alapértékekkel (\(l_{\mathrm{rúd}}=2R_{\mathrm{Föld}}\), \(r_{\mathrm{rúd}}=R_{\mathrm{Föld}}\)):

\(h_x\)	pontszerű korongok	valódi, tömör henger
1 m	4,689·10⁷ m/s²	11,25 m/s²
10³ m	4,689·10⁴ m/s²	11,24 m/s²
10⁶ m	43,48 m/s²	9,344 m/s²
10⁷ m	2,627 m/s²	2,268 m/s²
10⁸ m	5,300·10⁻² m/s²	5,285·10⁻² m/s²
\(-R_{\mathrm{Föld}}/2\) (a rúd belsejében)	9,814 m/s²	4,641 m/s²

A rúd végén a valódi hengerben a gravitációs gyorsulás kb. \(11\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\), ami a Föld felszíni gravitációs gyorsulásához hasonló nagyságrend. A pontszerű korongmodell ezt az 1 m-es alapértéknél kb. négymilliószorosára becsüli. Néhányszor \(r_{\mathrm{rúd}}\) távolságtól a két érték már közel van egymáshoz (a \(10^8\ \mathrm{m}\), kb. \(16\,r_{\mathrm{rúd}}\) távolságnál a különbség kb. \(0{,}3\,\%\)).

Miért nincs szingularitás a valódi Földben?

Newton törvényében az \(1/r^2\) szerepel, ezért úgy tűnhet, hogy minden modellben van szingularitás. Ez azonban csak a pontszerű tömegre igaz, ahol a mérési pont a tömegpontba esne (\(r=0\)). Egy valódi, kiterjedt testnél nincs szingularitás.

Jelölések ebben a részben:

\(s\) – egy tömegelem távolsága a mérési ponttól, mértékegysége: \(\mathrm{m}\). A Newton-törvényben ez az \(r\) távolság, a rúd integráljában \(s=\left|\left(\frac{l_{\mathrm{rúd}}}{2}+h_x\right)-x\right|\).
\(\mathrm{d}s\) – egy nagyon kis távolságnövekmény (a gömbhéj vastagsága), mértékegysége: \(\mathrm{m}\)
\(\mathrm{d}m\) – egy kis tömegelem tömege, mértékegysége: \(\mathrm{kg}\)
\(\mathrm{d}a\) – egy tömegelem által a mérési pontban okozott gravitációs gyorsulás, mértékegysége: \(\mathrm{\frac{m}{s^2}}\)
P – a mérési pont, O – a test közepe

1. A térfogatelem ellensúlyozza az \(1/s^2\)-et. A testet gömbhéjakra bontjuk, amelyek középpontja a mérési pont (P). Egy héj sugara \(s\), vastagsága \(\mathrm{d}s\) (egy nagyon kis távolság), lásd az 1. ábrát.

1. ábra. A héj középpontja a mérési pont (P). A héj minden pontja ugyanakkora, \(s\) távolságra van P-től.

A héjat kis \(\mathrm{d}m\) tömegelemek alkotják. Mindegyik a mérési pontban \(\mathrm{d}a = G\,\frac{\mathrm{d}m}{s^2}\) gravitációs gyorsulást okoz (ez a P-ben lévő próbatestre ható erő osztva a próbatest tömegével). A rövidség kedvéért ezt nevezzük a tömegelem „húzásának". A héj minden pontja ugyanakkora, \(s\) távolságra van P-től, ezért ha egy tömegelem végigfut a héjon, az \(s\) nem változik, csak az iránya változik a mérési pontból nézve. A héj teljes tömege a rajta lévő összes \(\mathrm{d}m\) összege, így a nagyságok összege \(G\,\frac{\text{a héj tömege}}{s^2}\). Ez más, mint a héjtétel gömbhéja, amelynek középpontja a test közepe (O): ott a héj pontjainak távolsága P-től különböző (lásd a 3. pontban a 2. ábrát).

A héj tömege a térfogatával arányos. Ha a héj teljes egészében a testben van, ez \(\rho\cdot4\pi s^2\,\mathrm{d}s\). Ha a mérési pont a test szélénél van, a héjnak csak a testbe eső része számít, így a tömege kisebb, ezért az alábbiak felső korlátot adnak. Minél messzebb van a héj, annál több tömeg van benne (\(s^2\) szerint), a tömegelemek hatása viszont \(1/s^2\) szerint csökken a távolsággal. A két hatás kiejti egymást.

\[ \text{a héj tömege: } \le \rho\cdot4\pi s^2\,\mathrm{d}s,\qquad \text{a héj által okozott gravitációs gyorsulás nagysága: } \le G\,\frac{\rho\cdot4\pi s^2\,\mathrm{d}s}{s^2} = 4\pi G\rho\,\mathrm{d}s \]

Az \(s^2\) a számlálóban és a nevezőben kiesik. Ami marad, az egy véges szám, és \(s\)-től nem függ. Ezért nem lesz végtelen a mérési pont közelében sem: a közeli héjban egyre kevesebb a tömeg (\(s^2\) szerint csökken), és ez pont ellensúlyozza azt, hogy a tömegelemek egyre nagyobb gravitációs gyorsulást okoznak (\(1/s^2\) szerint nő, ahogy a mérési ponthoz közelebb kerülünk).

Egy fenntartás: a fenti \(4\pi G\rho\,\mathrm{d}s\) a héjak által okozott gravitációs gyorsulások nagyságát összegzi, az irányukat figyelmen kívül hagyja. A valóságban a különböző irányból érkező hatások részben kiejtik egymást (a héjtétel pontosan ezt használja ki). A lényeg viszont így is érvényes: már a nagyságok összege is véges, tehát a tényleges eredő biztosan véges.

2. Dimenziók összehasonlítása. A tömeg a távolsággal különbözőképpen nő attól függően, hogy a tömeg hány dimenzióban van kiterjedve:

háromdimenziós test: a tömeg \(s^2\,\mathrm{d}s\)-sel arányos, az integrál \(\int\mathrm{d}s\), véges;
kétdimenziós lemez: a tömeg \(s\,\mathrm{d}s\)-sel arányos, az integrál \(\int\frac{\mathrm{d}s}{s}\), a nullánál logaritmikusan divergál;
egydimenziós vonal: a tömeg \(\mathrm{d}s\)-sel arányos, az integrál \(\int\frac{\mathrm{d}s}{s^2}\), a nullánál divergál.

3. A gömb belsejében a gravitációs gyorsulás csökken. Egyenletes sűrűségű, \(R\) sugarú, \(M\) tömegű gömbben egy \(r\) sugarú gömbön belül a tömeg \(M\,r^3/R^3\). A héjtétel héjai a test közepe (O) körül vannak (2. ábra). A héjtétel szerint a külső héjak hatása kiesik, így

2. ábra. A héjtétel héjának középpontja a test közepe (O). Itt a héj pontjainak távolsága a mérési ponttól (P) különböző (\(s_1\), \(s_2\), \(s_3\)), ezért a héjtétel bizonyításában szög szerint kell integrálni.

\[ g(r) = G\,\frac{M\,r}{R^3} \qquad (r\le R) \]

A felszínen \(g=\frac{G M}{R^2}\), a gömb közepén \(g=0\), sehol sincs végtelen. A valódi Földben a sűrűség nem egyenletes, ezért a \(g\) kicsit eltér ettől (a mag–köpeny határon kb. \(10{,}7\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\) körüli maximumot ér el), de mindenhol véges.

4. A rúdmodellben a szingularitás a modellből jön. A korongokat a tengelyen lévő pontszerű tömegeknek vettük, a sugárirányú kiterjedést csak a tömeg számításánál vettük figyelembe, a távolságnál nem. Így a tömeg tulajdonképpen egy vonal mentén van, ahol az integrál valóban divergál. Egy valódi, \(r_{\mathrm{rúd}}\) sugarú henger tengelyén a gravitációs gyorsulás véges, ezért a modell a rúd végéhez közel eltúloz (lásd a „A modell korlátai" részt).

5. A fizikai határ. A Newton-modell folytonos anyagot feltételez. Az anyag valójában atomokból áll, és nagyon nagy sűrűségnél (például fekete lyuk) már az általános relativitáselmélet számít. A mindennapi Földön azonban a folytonos modell véges eredményeket ad.

Szimuláció

Szemléltető ábra: a rúd mérete és a mérési pont távolsága logaritmikus értékkel arányos, ezért az ábra nem méretarányos. A rúd belsejében a mérési pont helye a rúd hosszával arányos. Az x tengely a rúd hossztengelye, az origó (0) a rúd közepén van. A kis fekete gömb a mérési pont, az \(h_x\) szakasz a rúd jobb oldali alaplapjától méri a helyét (negatív \(h_x\) esetén a rúd belseje felé). A piros nyíl a mérési pontból a rúd közepe felé mutat, ez a gravitációs gyorsulás iránya. Hossza a gravitációs gyorsulás logaritmusával nő: a legkisebb értéknél csak a nyílhegy látszik, az alapértéknél kb. félig ér el a rúd közepéig, és ha elérné a rúd közepét, tovább nem nő. A rúd közepén a gravitációs gyorsulás nulla, ott nincs nyíl. A nyíl a pontszerű korongmodell (a fenti integrál) értékéhez tartozik, nem a valódi hengeréhez.

Súgó: számok beírása és beillesztése

Beillesztés: a 5,974·1024 alakú szöveget a csúszka melletti Mantissza mezőbe (vagy a Kitevő mezőbe is) beillesztve a mantissza és a kitevő magától kitöltődik, a csúszka pedig beáll.
Más írásmódok: felismeri a 5,974·10^24, 5,974e24, 1,5·10−3 és a negatív kitevős alakokat is. A számjegyek közötti szóközt és a mértékegységet figyelmen kívül hagyja, tehát egy egész kimásolt táblázatsor is beilleszthető (pl. A Föld sugara 6,371·106 m).
Beírás: ha a teljes alakot begépeled a Mantissza mezőbe, és kilépsz a mezőből (Tab vagy Enter), ugyanúgy szétválasztja.
Tizedesjel: a Mantissza mezőben vessző a tizedesjel, de a tizedespontot is elfogadja.
Negatív szám: a \(h_x\) mezőjébe negatív szám is írható (a mérési pont a rúd belsejében van), a mantisszába kell a mínuszjelet írni, pl. -3,5. A másik két érték csak pozitív lehet.
Határon kívüli érték: a csúszka tartományánál kisebb vagy nagyobb számot is elfogad, a csúszka ilyenkor a szélén áll meg (a kitevő -100 és 100 között lehet).
A \(h_x\) csúszkája szimmetrikus logaritmikus: a nulla környékén lineáris, attól távolodva mindkét irányban logaritmikus. A kezdőérték (\(1\,\mathrm{m}\)) ezért nem a csúszka közepén van.

Eredmény

Mentett hivatkozás (URL)

A hivatkozás az aktuális beállításokat tartalmazza (l, r, h – m egységben); megnyitáskor ugyanezek az értékek töltődnek be.

Adatok

\[ \begin{array}{l r l} \hline \text{Mennyiség} & \text{Érték} & \text{Mértékegység}\\ \hline \text{A Föld sugara} & 6{,}371\cdot 10^{6} & \mathrm{m}\\ \text{A Föld sűrűsége (átlag)} & 5{,}51\cdot 10^{3} & \mathrm{kg/m^3}\\ \text{Föld--Nap távolság} & 1{,}496\cdot 10^{11} & \mathrm{m}\\ \text{A Nap átmérője} & 1{,}3914\cdot 10^{9} & \mathrm{m}\\ \hline \end{array} \]

Kijelölhető HTML-táblázat

A csúszkák tartománya

\[ \begin{array}{l l l l} \hline & \text{Minimum} & \text{Kezdőérték} & \text{Maximum}\\ \hline l_{\mathrm{rúd}} & \text{a Föld sugara: } 6{,}371\cdot10^{6}\ \mathrm{m} & \text{a Föld sugarának kétszerese: } 1{,}2742\cdot10^{7}\ \mathrm{m} & \text{a Föld--Nap távolság: } 1{,}496\cdot10^{11}\ \mathrm{m}\\ r_{\mathrm{rúd}} & 1000\ \mathrm{m} = 10^{3}\ \mathrm{m} & \text{a Föld sugara: } 6{,}371\cdot10^{6}\ \mathrm{m} & \text{a Nap átmérője: } 1{,}3914\cdot10^{9}\ \mathrm{m}\\ h_x & \text{a Föld sugarának mínusz egyszerese: } -6{,}371\cdot10^{6}\ \mathrm{m} & 1\ \mathrm{m} & \text{a Föld--Nap távolság: } 1{,}496\cdot10^{11}\ \mathrm{m}\\ \hline \end{array} \]

Az \(l_{\mathrm{rúd}}\) és az \(r_{\mathrm{rúd}}\) csúszkája a kezdőértéknél a csúszka közepén áll. A \(h_x\) csúszkája szimmetrikus logaritmikus.

Kijelölhető HTML-táblázat